Poligoni regolari e curve

Definizione breve

I poligoni regolari sono figure piane che hanno tutti i lati e tutti gli angoli uguali (per esempio il pentagono, l’esagono, l’ettagono, l’ottagono, il dodecagono). Le curve che si studiano nel disegno geometrico sono le figure delimitate da linee curve: circonferenza, ellisse, ovale, ovolo, oltre agli archi di raccordo che uniti tra loro permettono di disegnare profili armoniosi. Si costruiscono tutte con riga, squadre e compasso, seguendo procedure precise dette costruzioni geometriche.

📖 poligono convesso, equilatero ed equiangolo · Wikipedia · CC BY-SA

Spiegazione per docenti

Questa pagina riprende il percorso “Il disegno geometrico” e in particolare la sezione Costruzioni di figure piane. Il presupposto didattico è esplicitato nei testi: quasi tutti gli oggetti che ci circondano si possono ricondurre a figure geometriche piane o solide; per imparare a rappresentarli occorre saper “costruire” le figure di base e conoscerne le proprietà.

Convenzione grafica delle costruzioni. Le linee usate per le “operazioni” di costruzione sono sottili, mentre il contorno finale della figura va tracciato più spesso, per dargli risalto. Nei manuali le linee di costruzione curve (circonferenze e archi) e quelle rette sono distinte cromaticamente, e le frecce tratteggiate indicano l’apertura del compasso. Il disegno si ripassa poi a inchiostro con punta fine e si cancellano le linee di costruzione.

Due famiglie di procedure per i poligoni regolari. Per ogni poligono i testi presentano in genere due metodi:

1. Dato il lato (costruzione “in avanti”, a partire dalla misura di un lato): pentagono dato il lato, esagono dato il lato, ottagono dato il lato.
2. Data la circonferenza (poligono inscritto, ottenuto dividendo la circonferenza in parti uguali): pentagono come divisione della circonferenza in cinque parti, esagono in sei, ettagono in sette, ottagono in otto, ennagono in nove, decagono in dieci.

Esistono anche due metodi generali per costruire un poligono regolare di un numero qualsiasi di lati: uno parte dal lato dato e usa la suddivisione del raggio in sei parti per trovare i centri delle circonferenze circoscritte dei vari poligoni (esagono, ettagono… fino al dodecagono e oltre); l’altro divide la circonferenza in n parti uguali tramite la divisione del diametro e un fascio di rette. Sono procedure approssimate ma sufficienti per la didattica della scuola secondaria di primo grado.

Casi particolari da conoscere. L’esagono è il poligono “amico del compasso”: il lato dell’esagono inscritto è uguale al raggio della circonferenza, quindi basta riportare il raggio sei volte sulla circonferenza. Questo lo rende il punto di partenza ideale. Dalla costruzione dei poligoni regolari derivano i poligoni stellari (a 4, 5, 6, 8 punte): si individuano i vertici degli angoli convessi su una circonferenza e quelli concavi su una circonferenza concentrica più piccola (o tramite intersezioni di diagonali).

Le curve. L’ovale è una curva chiusa formata da quattro archi di circonferenza raccordati, costruibile dato l’asse minore o dato l’asse maggiore; l’ovolo è simile ma con un solo asse di simmetria; l’ellisse si costruisce per punti a partire da due circonferenze concentriche di raggio pari ai semiassi; la spirale a più centri si traccia incrementando progressivamente il raggio attorno a centri ravvicinati. Il raccordo è l’arco di circonferenza tangente che unisce dolcemente due rette (perpendicolari, parallele o incidenti) o una retta e una curva: è la base per disegnare oggetti reali con bordi arrotondati.

Collegamento con la simmetria e i nodi strutturali. I poligoni regolari sono il terreno ideale per introdurre la simmetria assiale (uno o più assi di simmetria) e la simmetria rotazionale (centro di simmetria). Nell’esagono regolare, per esempio, il centro di simmetria coincide con il centro della circonferenza circoscritta. I nodi strutturali (centro, vertici, intersezioni delle mediane con i lati) definiscono la “struttura portante” della figura e permettono composizioni grafiche e decorative.

Spiegazione per studenti

Un poligono regolare è una figura con tutti i lati uguali e tutti gli angoli uguali: il pentagono ha 5 lati uguali, l’esagono 6, l’ottagono 8, e così via. Per disegnarli con precisione non si va “a occhio”: si usano riga, squadre e compasso, seguendo passo per passo una procedura chiamata costruzione geometrica.

Ci sono due modi:

• partendo dal lato: conosci quanto è lungo un lato e costruisci la figura attorno a esso;
• partendo dalla circonferenza: disegni un cerchio e lo dividi in parti uguali; unendo i punti ottieni il poligono “dentro” il cerchio (inscritto).

Un trucco utilissimo: per l’esagono il lato è esattamente uguale al raggio del cerchio. Quindi disegni il cerchio e riporti il raggio sei volte sul bordo con il compasso: hai i sei vertici.

Le curve servono per disegnare oggetti dai bordi morbidi:

• l’ovale sembra un uovo schiacciato ed è fatto da quattro pezzi di cerchio uniti bene tra loro;
• l’ovolo assomiglia di più alla forma di un uovo;
• l’ellisse è il cerchio “schiacciato”;
• il raccordo è la curva che unisce dolcemente due linee, come l’angolo arrotondato di uno smartphone o di un tavolo.

Quando finisci, ripassa a penna solo il contorno della figura e cancella tutte le righe di costruzione: il disegno deve restare pulito.

Versione ultra-semplice (BES/DSA)

Un poligono regolare ha tutti i lati e tutti gli angoli uguali (pentagono = 5 lati, esagono = 6, ottagono = 8). Si disegna con compasso, riga e squadre, seguendo i passi uno alla volta. Per l’esagono: disegna un cerchio e riporta sei volte il raggio sul bordo. Le curve (ovale, ellisse, raccordo) servono per i bordi arrotondati. Alla fine ripassa solo il contorno e cancella le righe extra.

Esempio concreto in classe

Si chiede agli studenti di guardare oggetti reali e riconoscere i poligoni e le curve “nascoste”: il dado da gioco e i favi delle api (esagoni), il bullone e molti segnali stradali (esagono, ottagono del segnale di STOP), la fetta di torta o il vassoio (settori di cerchio), il bordo arrotondato dello smartphone o della carta di credito (raccordi), la pista di atletica (semicerchi raccordati a due rette). Da qui si passa alla costruzione con il compasso: prima l’esagono (il più semplice, lato = raggio), poi il pentagono e infine un raccordo tra due lati per “arrotondare” l’oggetto disegnato. (proposta progettuale) la selezione specifica degli oggetti.

Dal concetto all’attività

Livello base

Costruzione guidata dell’esagono regolare dato il lato e dato il raggio su carta a quadretti, seguendo passo per passo le istruzioni del libro. Obiettivo: usare correttamente il compasso, capire che il lato dell’esagono è uguale al raggio, ripassare a penna solo il contorno. Prodotto: una tavola con due esagoni puliti. Verifica: precisione del tratto e correttezza della procedura.

Livello intermedio

Galleria di poligoni e curve: ogni studente costruisce un poligono assegnato (pentagono, ettagono, ottagono) e una curva (ovale dato l’asse minore o raccordo tra due rette perpendicolari), poi le tavole si compongono in un cartellone di classe. Si introduce la distinzione tra costruzione “dato il lato” e “data la circonferenza” e la verifica della tangenza nei raccordi. Prodotto: tavola individuale + cartellone collettivo.

Livello avanzato

Decoro modulare: a partire dall’esagono o dall’ottagono (e dai loro nodi strutturali) e dai poligoni stellari, gli studenti progettano una composizione geometrica simmetrica (rosone, piastrella, logo) da ripassare a inchiostro e colorare, oppure da ridisegnare in un software di grafica vettoriale. Compito autentico: progettare il decoro per un oggetto reale (mattonella, tessuto, copertina). Collegamento con grafica-raster-e-vettoriale e cad-disegno-assistito-dal-computer. (proposta progettuale)

Misconcezioni frequenti

• “Poligono regolare = poligono qualsiasi con più lati.” No: regolare significa tutti i lati e tutti gli angoli uguali. Un rettangolo non è regolare (angoli uguali ma lati no); un rombo non lo è (lati uguali ma angoli no).
• “L’ovale è la stessa cosa dell’ellisse.” No: l’ovale è composto da archi di circonferenza raccordati (si traccia col compasso), l’ellisse è una curva costruita per punti e non ha raggio costante.
• “Basta disegnare a occhio o con il righello.” Le costruzioni geometriche servono proprio per ottenere precisione senza misurare gli angoli a caso: il valore sta nel procedimento.
• “Le linee di costruzione fanno parte del disegno.” Sono linee di servizio: vanno tracciate sottili e cancellate alla fine, lasciando solo il contorno marcato.
• “Per l’esagono devo misurare gli angoli col goniometro.” Non serve: il lato dell’esagono inscritto è uguale al raggio, quindi si lavora solo col compasso.
• “Il raccordo è un angolo smussato dritto.” No, è un arco tangente alle due linee: deve attaccarsi in modo morbido, senza spigoli.

Collegamenti interdisciplinari

• Matematica/Geometria: proprietà dei poligoni, angoli interni, circonferenza inscritta e circoscritta, simmetria assiale e rotazionale, tangenza.
• Arte e immagine: rosoni gotici, mosaici, tassellature, decorazioni geometriche, logo design.
• Scienze: simmetria in natura (favi esagonali delle api, fiori, cristalli, stelle marine, fiocchi di neve).
• Tecnologia/oggetti: dadi e bulloni esagonali, segnaletica stradale, packaging, profili raccordati negli oggetti di design.
• Storia/geografia: ornamenti e architetture basate su griglie geometriche regolari. (proposta progettuale)

Strumenti digitali utili

• GeoGebra: per costruire passo passo poligoni e curve con strumenti di compasso e riga virtuali, verificando angoli e simmetrie in modo dinamico. (proposta progettuale)
• Software di grafica vettoriale (es. Inkscape): i manuali stessi propongono di disegnare poligoni regolari, ruotarli e comporli; utile per passare dal foglio al digitale → grafica-raster-e-vettoriale.
• CAD 2D per la costruzione precisa di poligoni e raccordi → cad-disegno-assistito-dal-computer.
• SketchUp per estrudere i poligoni di base in prismi (es. prisma esagonale) → sketchup-modellazione-3d. (proposta progettuale) l’abbinamento specifico.

Valutazione e rubriche

Criterio	Iniziale	Base	Intermedio	Avanzato
Uso degli strumenti (compasso, riga, squadre)	Usa gli strumenti in modo impreciso, il tratto è incerto	Usa gli strumenti con qualche imprecisione, guidato	Usa gli strumenti correttamente in autonomia	Usa gli strumenti con sicurezza e precisione, anche in costruzioni complesse
Correttezza della procedura	Salta o confonde i passaggi della costruzione	Segue la procedura solo con supporto costante	Esegue la procedura corretta in autonomia	Sceglie il metodo più adatto (dato il lato / data la circonferenza) e lo motiva
Precisione e pulizia del disegno	Le linee di costruzione restano e il contorno è disordinato	Distingue parzialmente costruzione e contorno	Cancella le linee di costruzione e marca il contorno	Tavola precisa, contorno netto, raccordi tangenti corretti
Comprensione delle proprietà	Non riconosce lati/angoli uguali né la simmetria	Riconosce la regolarità con aiuto	Spiega regolarità e simmetria della figura	Collega poligoni, curve e simmetria a oggetti e contesti reali

Per criteri e griglie più ampie sul disegno tecnico vedi valutazione-disegno-tecnico.

Inclusione e adattamenti

• Fornire schede passo-passo illustrate, un’operazione per riquadro, con i passaggi numerati e fotografati.
• Usare carta a quadretti o fogli con la circonferenza/gli assi già tracciati per ridurre il carico sulla fase iniziale.
• Mettere a disposizione mascherine e normografi per esagoni, quadrati, ellissi (citati dai manuali) e compassi con apertura a vite (balaustrino) per chi ha difficoltà di motricità fine.
• Far verbalizzare a voce la procedura mentre la si esegue (autoistruzione) e procedere per piccoli passi con verifica intermedia.
• Per chi è più avanti: proporre i poligoni di n lati e i poligoni stellari come sfida.
• Vedi gli accorgimenti generali in inclusione-disegno-tecnico.

Fonti

• Mondi. Innovazione tecnologia – Gino Cappè, Marilise Fantacci (SEI, volume unico): Le figure geometriche di base (p.399), Costruzioni di figure piane (p.400-402, p.405), pentagono/esagono/ettagono/ottagono dato il lato e per divisione della circonferenza (p.405-407), ennagono, decagono e poligono regolare qualsiasi (p.408-409), poligoni stellari (p.410), ovale, ovolo, ellisse, spirale e raccordi (p.411-412), elaborazioni e simmetria dell’esagono e dell’ottagono (p.415-416, p.418), esercizi Alleno le competenze (p.421).

Le parti marcate (proposta progettuale) (attività di livello avanzato, abbinamenti di strumenti digitali, selezione degli esempi, collegamenti storico-geografici) sono proposte didattiche dell’autore della pagina, non tratte direttamente dai testi.

Pagine collegate

• strumenti-del-disegno-tecnico — riga, squadre e compasso sono gli strumenti di queste costruzioni
• costruzioni-geometriche — i poligoni e le curve sono casi delle costruzioni geometriche di base
• struttura-modulare-e-disegno-geometrico — poligoni e simmetria come base di moduli e reticoli decorativi
• grafica-raster-e-vettoriale — dal disegno con il compasso al disegno vettoriale
• cad-disegno-assistito-dal-computer — costruzione precisa di poligoni e raccordi al computer
• valutazione-disegno-tecnico — criteri e rubriche per valutare il disegno
• inclusione-disegno-tecnico — adattamenti per il disegno geometrico