Le costruzioni geometriche di base
Definizione breve
Le costruzioni geometriche sono i procedimenti grafici che permettono di tracciare con precisione figure ed elementi geometrici (perpendicolari, parallele, bisettrici, assi, angoli) usando solo gli strumenti del disegno tecnico: riga, squadre e compasso. Si basano sugli enti geometrici fondamentali — il punto, la retta, il segmento, l’angolo — e su procedimenti ripetibili che danno sempre lo stesso risultato corretto.
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Spiegazione per docenti
Le costruzioni geometriche rappresentano il cuore operativo del disegno geometrico nel primo anno della secondaria di primo grado. Sono il momento in cui lo studente passa dalla conoscenza degli strumenti (riga, squadre, compasso) al loro uso ragionato per risolvere “problemi di tracciatura”: dato un certo elemento, ottenerne un altro in modo esatto.
Prima di affrontare le costruzioni è utile fissare il lessico degli enti geometrici, che nei testi viene presentato con notazione standard: il punto si indica con una lettera maiuscola; il segmento con i due estremi (AB); le rette parallele e perpendicolari con lettere minuscole; gli angoli con la notazione dell’ampiezza (angolo retto = 90°, acuto < 90°, ottuso > 90°). Questo vocabolario condiviso è la base per “leggere” e descrivere le costruzioni.
Le costruzioni fondamentali presentate nei manuali sono, in sequenza:
- Perpendicolare nel punto medio di un segmento (asse del segmento): con apertura di compasso maggiore della metà del segmento si centra nei due estremi A e B, si descrivono due archi che si incontrano nei punti C e D; la retta per C e D è perpendicolare ad AB e lo divide a metà.
- Perpendicolare all’estremità di un segmento: si costruisce per archi successivi di uguale raggio a partire da un estremo.
- Parallela a una retta passante per un punto P: si riporta con il compasso una distanza misurata, ottenendo un punto che, congiunto a P, dà la retta parallela.
- Bisettrice di un angolo: si centra nel vertice V e si traccia un arco che taglia i due lati in C e D; centrando in C e D si tracciano due archi che si intersecano in E; la semiretta da V per E è la bisettrice, che divide l’angolo in due parti uguali.
- Divisione di un segmento in parti uguali e divisione dell’angolo retto in tre parti uguali.
La logica didattica è duplice: da un lato si esercita la manualità e la precisione (impugnatura del compasso, scorrimento delle squadre, tratto pulito); dall’altro si introduce il pensiero procedurale (una sequenza ordinata di passi che porta a un risultato verificabile), che anticipa il ragionamento algoritmico utile anche per coding e CAD.
Un punto che i manuali sottolineano: le linee di costruzione (archi, tracce ausiliarie) si eseguono con mina dura e tratto leggero, e si ripassano solo i lati finali della figura. Distinguere “linea di costruzione” da “linea definitiva” è un’abilità chiave da valutare.
Spiegazione per studenti
Costruire una figura geometrica non vuol dire disegnarla “a occhio”: vuol dire ottenerla in modo esatto seguendo dei passaggi precisi, usando riga, squadre e compasso. Ogni costruzione è come una piccola ricetta: se segui i passi nell’ordine giusto, il risultato è sempre corretto.
Prima impari le parole giuste:
- Punto: si indica con una lettera maiuscola (A, B, C…).
- Segmento: un pezzo di retta tra due punti, per esempio AB.
- Rette perpendicolari: si incontrano formando un angolo di 90° (un angolo retto).
- Rette parallele: non si incontrano mai, restano sempre alla stessa distanza.
- Bisettrice: la linea che taglia un angolo esattamente a metà.
- Asse di un segmento: la perpendicolare che passa per il punto medio e divide il segmento in due parti uguali.
Per esempio, per trovare la perpendicolare nel mezzo di un segmento AB: apri il compasso più della metà del segmento, punta in A e traccia un arco, poi punta in B con la stessa apertura e traccia un altro arco. I due archi si incrociano in due punti: unendoli con la riga ottieni la perpendicolare che divide AB esattamente a metà.
Ricorda: gli archetti e le linee che usi per costruire si tracciano leggeri, perché servono solo per arrivare al risultato. Alla fine ripassi più scuro solo la figura che ti interessa.
Versione ultra-semplice (BES/DSA)
Costruire in geometria = disegnare in modo preciso usando gli strumenti, non a mano libera.
Strumenti: riga, squadre, compasso.
Tre parole importanti:
- Perpendicolare = due linee che formano un angolo di 90° (come l’angolo di un foglio).
- Parallele = due linee sempre alla stessa distanza, che non si toccano mai.
- Bisettrice = la linea che taglia un angolo a metà.
Come tagliare un segmento AB a metà:
- Apri il compasso più della metà.
- Punta in A: fai un arco.
- Punta in B (stessa apertura): fai un altro arco.
- Gli archi si incrociano: unisci i due incroci con la riga.
Fatto! Hai trovato il punto di mezzo. Le linee per costruire si fanno leggere, la figura finale si ripassa scura.
Esempio concreto in classe
Tavola guidata: “L’asse di simmetria della finestra”.
Si chiede agli studenti di immaginare di dover appendere un quadro esattamente al centro sopra una finestra disegnata sul foglio. Per trovare il centro non si misura con il righello (operazione imprecisa e poco “tecnica”), ma si costruisce l’asse del segmento che rappresenta la base della finestra:
- Si traccia il segmento AB (la larghezza della finestra).
- Con il compasso aperto più della metà si puntano A e B e si tracciano gli archi.
- Si uniscono i due incroci: si ottiene l’asse, perpendicolare e passante per il centro esatto.
L’insegnante fa notare che lo stesso procedimento serve in falegnameria, in edilizia e nel CAD per trovare il centro di un lato senza misurare. Si conclude verificando con il righello che il punto trovato è davvero a metà: la costruzione “batte” la misura a occhio.
Dal concetto all’attività
Livello base
Tavola di riconoscimento e tracciatura degli enti geometrici. Lo studente disegna e nomina correttamente: punto, segmento, rette parallele e perpendicolari, angolo retto, acuto, ottuso, usando la notazione corretta (lettere maiuscole, simboli). Poi esegue, copiando i passi dal libro, la perpendicolare nel punto medio di un segmento su carta quadrettata. Obiettivo: lessico corretto e uso base del compasso.
Livello intermedio
Serie di tre costruzioni complete su foglio da disegno liscio: asse di un segmento, parallela passante per un punto P, bisettrice di un angolo dato. Lo studente distingue con tratto diverso linee di costruzione e linee definitive, e scrive a fianco la sequenza dei passi con parole sue. Obiettivo: autonomia procedurale e pulizia del tratto.
Livello avanzato
Costruzione combinata e applicazione: dividere un segmento in un numero qualsiasi di parti uguali e dividere l’angolo retto in tre parti uguali, poi usare queste costruzioni per impostare un semplice pattern modulare o un poligono. In alternativa, (proposta progettuale) ricostruire la stessa figura in un software di disegno (GeoGebra o un CAD scolastico) confrontando il procedimento manuale con quello digitale e descrivendo quali passi diventano “comandi”. Obiettivo: transfer e ragionamento procedurale.
Misconcezioni frequenti
- “La bisettrice si trova a occhio piegando il foglio.” La piega può aiutare a intuire, ma la bisettrice corretta si costruisce con il compasso; il risultato deve essere verificabile e ripetibile.
- “Per la perpendicolare basta misurare 90° con il goniometro.” È possibile, ma le costruzioni con riga e compasso non dipendono dalla precisione di lettura dello strumento graduato: danno l’angolo retto in modo esatto. Il goniometro serve per riportare ampiezze qualsiasi, non per costruire la perpendicolare.
- Confondere asse del segmento e bisettrice dell’angolo. Sono costruzioni “parenti” (entrambe per archi simmetrici), ma una divide a metà un segmento, l’altra divide a metà un angolo.
- Apertura del compasso troppo piccola. Per la perpendicolare nel punto medio l’apertura deve essere maggiore della metà del segmento, altrimenti gli archi non si incontrano.
- Linee di costruzione ripassate come quelle definitive. Le tracce ausiliarie restano leggere; si ripassa solo la figura finale. Confonderle rende il disegno illeggibile.
- “Parallele = linee dritte qualsiasi.” Le parallele mantengono la stessa distanza in ogni punto; due rette che si avvicinano, anche di poco, non sono parallele.
Collegamenti interdisciplinari
- Matematica/Geometria: enti geometrici fondamentali, angoli, simmetria assiale, congruenza. Le costruzioni del disegno tecnico sono le stesse della geometria euclidea con riga e compasso.
- Arte e immagine: simmetria, moduli, decorazioni e pattern geometrici; costruzione di figure regolari per composizioni.
- Storia: l’uso di riga e compasso nell’architettura e nelle arti dall’antichità (geometria pratica di costruttori e artigiani).
- Informatica/Coding: il pensiero procedurale delle costruzioni (sequenza ordinata di passi) anticipa la logica dell’algoritmo e dei comandi nel disegno digitale e nel CAD.
Strumenti digitali utili
- GeoGebra (proposta progettuale): ambiente gratuito per riprodurre le costruzioni con riga e compasso in modo dinamico; permette di “trascinare” i punti e vedere che la costruzione resta valida, evidenziando la differenza tra disegno a occhio e costruzione esatta.
- CAD scolastico / strumenti di disegno vettoriale (proposta progettuale): per ritrovare le stesse operazioni (perpendicolare, parallela, divisione) come comandi, collegandosi alla pagina cad-disegno-assistito-dal-computer.
- Lavagna interattiva o proiettore per mostrare passo-passo la sequenza delle costruzioni mentre gli studenti eseguono in parallelo.
(Tutti gli strumenti software qui indicati sono proposta progettuale: i testi consultati descrivono le costruzioni con strumenti tradizionali — riga, squadre, compasso.)
Valutazione e rubriche
| Criterio | Iniziale | Base | Intermedio | Avanzato |
|---|---|---|---|---|
| Lessico e enti geometrici | Nomina e indica gli enti solo con aiuto | Riconosce e nomina i principali enti (punto, segmento, parallele, perpendicolari, angoli) | Usa correttamente lessico e notazione standard | Usa il lessico con sicurezza e lo applica per descrivere costruzioni nuove |
| Esecuzione della costruzione | Esegue solo copiando, con molti errori | Esegue le costruzioni base seguendo i passi guidati | Esegue in autonomia perpendicolare, parallela e bisettrice | Combina più costruzioni per risolvere un problema grafico nuovo |
| Precisione e uso degli strumenti | Tratto impreciso, compasso usato con difficoltà | Tratto sufficientemente preciso, apertura del compasso corretta | Tratto pulito, distingue linee di costruzione e definitive | Costruzioni esatte e ordinate, verificabili e ripetibili |
| Pensiero procedurale | Non sa spiegare i passi | Riferisce i passi se guidato | Descrive la sequenza con parole proprie | Spiega il “perché” funziona e trasferisce il procedimento (anche al digitale) |
Inclusione e adattamenti
- Schede passo-passo illustrate: ogni costruzione su una card con un solo passo per riquadro, immagine grande e testo essenziale (utile per DSA e BES).
- Carta quadrettata per le prime costruzioni: i testi suggeriscono di iniziare sul quaderno a quadretti prima di passare al foglio liscio, riducendo il carico di precisione.
- Compassi e strumenti facilitati: compasso con impugnatura ergonomica, squadre con prese antiscivolo; per chi ha difficoltà motorie, partner che tiene fermo lo strumento.
- Verbalizzazione e mappa procedurale: lasciar descrivere a voce la sequenza, o fornire una mappa con i passi numerati e icone, per scollegare la comprensione del procedimento dalla manualità.
- Tempi e quantità calibrati: ridurre il numero di costruzioni richieste, valorizzando la correttezza del procedimento più della velocità.
- Affiancamento manuale/digitale (proposta progettuale): per chi fatica con il compasso, riprodurre la costruzione in GeoGebra permette comunque di apprendere la logica geometrica.
Fonti
- Tecnomedia DIGIT (Latt) — Disegno geometrico, enti geometrici e “Problemi di tracciatura”: perpendicolare nel punto medio, perpendicolare all’estremità, parallela per un punto, bisettrice, divisione del segmento e dell’angolo retto (pp. 27-29).
- Infinito Tecnologico (Lattes) — Disegno: indice e attività su costruzioni geometriche (perpendicolare per il punto medio, per l’estremo, bisettrice di un angolo); simmetria assiale e asse di simmetria.
- Tecnologia e disegno - Rosano, Cirilli, Guglielmi, Pertici (Zanichelli), Idee per insegnare — sezione “Le costruzioni geometriche” (perpendicolari, bisettrice) e strumenti del disegno (squadre, riga, compasso).
- Le sezioni su strumenti digitali (GeoGebra, CAD) e parte delle attività di livello avanzato sono (proposta progettuale): i testi consultati trattano le costruzioni con strumenti tradizionali.